Álgebra linear Exemplos

$5 x + 2 y = 8$ , $9 x - 4 y = 2 - 22$

Etapa 1

Subtraia $22$ de $2$ .

$5 x + 2 y = 8, 9 x - 4 y = - 20$

Etapa 2

Escreva o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 8 \\ 9 & - 4 & - 20 \end{array}]$

Etapa 3

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Etapa 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{2}{5} & \frac{8}{5} \\ 9 & - 4 & - 20 \end{array}]$

Etapa 3.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{8}{5} \\ 9 & - 4 & - 20 \end{array}]$

Etapa 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 9 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Etapa 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 9 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{8}{5} \\ 9 - 9 \cdot 1 & - 4 - 9 (\frac{2}{5}) & - 20 - 9 (\frac{8}{5}) \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{8}{5} \\ 0 & - \frac{38}{5} & - \frac{172}{5} \end{array}]$

Etapa 3.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{38}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Etapa 3.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{38}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{8}{5} \\ - \frac{5}{38} \cdot 0 & - \frac{5}{38} (- \frac{38}{5}) & - \frac{5}{38} (- \frac{172}{5}) \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{8}{5} \\ 0 & 1 & \frac{86}{19} \end{array}]$

Etapa 3.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Etapa 3.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{8}{5} - \frac{2}{5} \cdot \frac{86}{19} \\ 0 & 1 & \frac{86}{19} \end{array}]$

Etapa 3.4.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{19} \\ 0 & 1 & \frac{86}{19} \end{array}]$

Etapa 4

Use a matriz de resultados para declarar as soluções finais ao sistema de equações.

$x = - \frac{4}{19}$

$y = \frac{86}{19}$

Etapa 5

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(- \frac{4}{19}, \frac{86}{19})$

Etapa 6

Para decompor um vetor da solução, reorganize cada equação representada na forma de linha reduzida da matriz aumentada resolvendo a variável dependente em cada linha que produz igualdade vetorial.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{4}{19} \\ \frac{86}{19} \end{array}]$